《費馬大定理》是由知名导演西蒙·辛格 执导的一部紀錄片，Andrew Wiles Barry Mazur 等倾情出演，该片讲述了： 本片從證明了費瑪最後定理的安德魯 ‧懷爾斯 Andr ew Wiles開始談起，描述了 Fermat' s Last The orm 的曆史始末，往 前回溯來看，1994年正是我在念大學的時 候，當時完全沒有一位教授在課堂上提到這件事，也許他們認爲，一位真正的研究 者，自然而然地會被數學吸引，然而對 一位不是天才的學生 來說，他需 要的是老師的指引 ，引導他走向更 高深的專業認知，而指引的 道路，就在科普的精神上。 從費瑪最後定理的曆史中可以發現，有許多研究成果，都是研究 人員燃燒熱情，試圖提出「有趣」的命 題，然後再嘗試用邏輯驗證。< br/> 費瑪最後定理：xn+yn=z n 當 n>2 時，不 存在整數解 1. 1963年 安 德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles被埃裏克‧ 坦普爾‧貝爾 Eric Temp le Bell 的一本書吸引，「最後問題 The Last Problem」，故事從這裏開 始。 2. 畢達哥拉斯 Pythagoras 定 理，任一個直角三角形， 斜邊的平方=另 外兩邊的平方和 x2+y2=z2 畢達哥拉斯三元組：畢氏定理的整數解 3. 費瑪 Fermat 在 研究丟番圖 Diopha ntus 的「算數」第2卷的問題8 時，在頁邊寫下了註記 「不可能將一個立方數寫 成兩個立方數之和； 或者將一個四次冪寫成兩個四次 冪之和；或者， 總的來說，不 可能將一個高於2 次冪，寫成兩個同樣次冪 的和。」 「 對這個命題我有一個十分美妙的證明，這裏空白太小，寫不下。」 4. 1670年，費 瑪 Fermat的兒子出版了 載有Fermat 註記的「丟番圖的算數」 5. 在Ferm at的其他註記中，隱含了對 n=4 的證明 =>; n=8, 12, 16, 20 .. . 時無解 萊昂哈德‧歐拉 Leonhard Euler 證明了 n=3 時無 解 => n=6, 9, 12, 15 ... 時無解 3是質數，現在只要證明費瑪最後定理對於所 有的質數都成立 但 歐基裏德 證明 「存在無窮多個質 數」 6. 1776年 索菲‧熱爾曼 針對 (2p+1)的質數，證明了 費瑪最後定理 "大概" 無解 7. 18 25年 古斯塔 夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧勒讓德 延 伸熱爾曼的證明，證明了 n=5 無解 8. 1839年 加布裏爾‧拉梅 Gabriel Lame 證明了 n=7 無解 9. 1847年 拉 梅 與 奧古斯 汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis C auchy 同時宣稱已經證明了 費 瑪最後定理 最後是劉維爾宣讀了 恩斯特‧庫默爾 Er nst Kummer 的信，說科西與拉梅的證 明，都因爲「 虛數沒有唯一因子分解性質 」而失敗 庫默爾證明了 費瑪 最後定理的完整證明 是當時數學方法不可能實現的 10.1908年 保羅‧沃爾夫斯凱爾 Paul Wolfskehl 補救了庫默爾的證明 這表示 費瑪最後定理的完整證明 尚未被解決 沃爾夫斯凱爾提供 了 10萬馬克 給提供證 明的人，期限是到 2007年 9月13日止 11. 1900年8月8日 大衛‧希 爾伯特，提出數學上 23個未解決的問題且相信這是迫切需 要解決的重 要問題< br/> 12.1931年 庫特‧ 哥德爾 不可判定性定理 第一不可判定性定 理：如果公理集合論是 相容的，那麽存在 既不能證明又不能否定的定理。 =&g t; 完全性是 不可能達到的 第二 不可判定性定理： 不存在能證明 公理系統是相容的構造性 過程。 = > 相容性永 遠不可能證明 13.19 63年 保羅‧ 科恩 Paul Cohen 發展了可以檢驗給定問題是不是不可判定的方法（只適用少數情 形） 證明希爾伯特23 個問題中，其 中一個「連續統假 設」問題是不可判定的， 這對於費瑪 最後定理來說是一大打擊 1 4.1940年 阿倫‧ 圖靈 Alan Turing 發明破譯 Enigma編碼 的反轉機 開 始有人利用暴力解決方法，要對 費瑪最後定理 的n值一個一個加以證明。 15.198 8年 內奧姆‧埃爾基斯 Na om Elkies 對於 Eul er 提出的 x4 +y4+z4= w4 不存在解這個推想，找到了一個反例 26824404+153656394+18796 04=20 6156734 16.1975年 安德魯‧懷爾斯 An drew Wi les 師承 約翰‧科次，研究橢圓曲 線 研究橢圓曲線的目的 是要算出他們的整數 解，這跟費瑪最後定理一樣 ex : y2=x3-2 只有一組整數解 52 =33-2 (費瑪證明宇宙 中指存在一個數26 ，他是夾在一個 平方數與一個 立方數中間) 由於要直接找出橢圓曲線是很困難的，爲了簡化問題，數學家 採用「時鐘運算」方法 在五格時鐘運 算中， 4+2 =1 橢圓方程式 x3-x2=y2+y 所有可能 的解爲 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)， 然後可用 E5 =4 來代表在五格時鐘運算中，有四個解 對 於橢圓曲線，可寫出一個 E序列 E1=1, E2=4, ..... 17.1954年 至 村五郎 與 谷山豐 研 究具有非 同尋常的對稱性的 modular fo rm 模型式 模型式的要素可從1開始標號到無窮（M 1, M2, M 3, ...） 每個模型式的 M序列 要 素個數 可 寫成 M1=1 M2=3 .... 這樣的範例 1955 年9月 提出模型式的 M序列 可以對應到橢圓曲線的 E序列，兩個不同領 域的理論突然被連 接在一起 安德列‧韋依 採納這 個想法， 「谷山-志村猜想」 18.朗蘭茲提出 「朗蘭茲綱領」的計畫，一個統一化猜想的理論，並開始尋找統一 的環鏈 19.1984 年 格哈德‧弗賴 Gerha rd F rey 提出 (1) 假設費瑪最後定理是錯的，則 xn+yn=z n 有整數解，則可將方程式轉換爲y2 =x3+(AN-BN) x2-A NBN 這樣的橢圓方程式 (2) 弗賴橢圓方程式太古怪了，以致於無法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 斷言每一個橢圓方程式都可以被模 型式化 (4) 谷山- 志村猜想 是錯誤的 反過來說 (1) 如果 谷山- 志村猜想 是對的，每一 個橢圓方程式都可以被模型式化 (2) 每一個橢圓方程式都可以被模型式 化，則不存在弗賴橢圓方程式 (3) 如果 不存在弗賴橢圓方程式，那麽xn+yn=zn 沒有整數解< br/> (4) 費瑪最後定理是對的 20.1986 年 肯‧貝裏特 證明 弗賴橢圓方程式無法被模 型式化 如果有人能夠 證明谷山-志村猜 想，就表示費瑪最後定 理也是正確的 21.1986年 安德 魯‧懷爾斯 Andrew Wil es 開始一個小陰謀，他 每隔6個月發表一 篇小論文，然後自己獨力嘗試證明谷 山-志村猜想，策略是 利用歸納法，加上 埃瓦裏斯特‧伽羅瓦 的群論，希望能將E序列以「自然次序」一一對 應到M序列 22.1988年 宮岡洋一 發表利用微分 幾何學證明谷山- 志村猜想，但結果失敗 23.1989年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 已經將橢圓方程式拆解成無限多項，然後也證明了第 一項必定是模型式的第一項，也嘗試利用 依娃沙娃 I wasawa 理 論，但結果失敗 24.199 2年 修改 科利瓦金-弗萊契 方法，對所有分類 後的橢圓方程式都奏效 25.1993年 尋求同事 尼克‧凱茲 Nick Katz 的協助，開始對驗證證明 26.1993年5月 「L- 函數和算術」會議，安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 發表谷山- 志村猜想的證明 27.1993年9 月 尼克‧凱茲 Nick Katz 發現一 個重大缺陷 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 又開始隱居，嘗試獨力解決 缺陷，他不希望在這時候公布證明，讓其 他人分享完成證明的甜美 果實 28.安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 在 接近放棄的 邊緣，在彼得‧薩納克 的建議下，找到理查德‧泰勒的協助 29.1994年9月 19日 發現結合 依娃沙娃 Iwasawa 理論與 科利瓦金-弗萊 契 方法就能夠完全解決問題 30.「谷山-志村猜 想」被證明了，故 得證「費瑪最 後定理」 ii 費馬大定理 300多年以前，法國數學家費馬在一本書的 空白處寫下了一個定理：“設n是大于 2的正整 數，則不定方程xn+yn=zn沒有非零整數解 ”。 費馬宣稱他發現了這個定理的一個真正奇妙的證明 ，但因書上空白太小，他寫不下他的證明。300多年 過去了，不知有多 少專業數學家和業余數學愛好者絞盡腦汁企圖證明它，但不是無功而返就是進展 甚微。這 就是純數學中最著名的定理—費 馬大定理。 費馬(1601年～1 665年)是一位具有傳奇 色彩的數學家，他最初學 習法律並以當律師 謀生，後來成爲議會議員，數學 只不過是他的業余愛好，只能利用閑暇來研 究。雖然年近30才認真注意數學， 但費馬對數論和 微積分做出了第一流的貢獻。他與笛卡兒幾乎同時創 立了解析幾 何，同時又是17世紀興 起的概率論的探索者之 一。費馬特別愛好 數論，提出了許多定理，但費馬只對其中一個定理給出了證明要點，其他定理除一個被證明是錯的，一個未被證明外， 其余的陸續被後來的數學家所證實。這唯一未被證明的定理就是上面所說的費馬大定理，因爲是最後一個未被證明對或錯的 定理，所以又稱爲費馬最後定理 。 費馬大定理雖然至今仍沒有完全被證明，但已經有了很大進展，特別是最近幾十 年，進展更快。 1976年瓦格斯 塔夫證明了對小 于105的素數費馬大定理 都成立。1 983年一位年輕的德國數學家法爾廷斯證明了不定方程 xn+yn=zn 只能有有限多組解，他的突出貢獻使他在1986年獲得了數學界的最高獎之一費 爾茲獎。1 993年 英國數學家威爾斯宣布證明了費馬大定理，但隨後發現了證明中的一個漏洞 並作了修正。雖然威爾斯證明費馬 大定理還沒有得到 數學界的一致公認，但大多數數學家認 爲他證明的思 路是正確的。毫無疑 問，這使人們看 到了希望。 爲了尋求費馬大定 理的解答 ，三個多世紀以來，一代又一代 的數學家們前 赴後繼，卻壯志未酬。1 995年，美 國普林斯頓大學的安德魯·懷爾 斯教授經過8年的孤軍奮戰，用1 3 0頁 長的篇幅證明了費馬大定理。懷爾斯成爲整個數學界的英雄。 費馬大 定理提出的問題非常 簡單，它是用一個每個中學生都熟悉的數 學定理——畢 達 哥 拉斯定理— —來表達的。2000多年前誕生的畢達哥拉斯定理說：在一個直角 三角形中， 斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和。即X2＋Y2=Z2。 大約在公元1637年前後 ，當費馬在 研究畢達哥拉斯方程時，他寫下一個方程，非常 類似于畢達哥拉斯方程：Xn＋Yn =Zn,當n 大于2時，這個方程沒有任 何整數解。費馬在《算術》這本書的靠近問 題8的頁邊處記下這 個結論的同時又 寫下一個附加的評 注：“對此，我確信已發現一個美妙的證法，這裏的空 白太小，寫不下。”這就是數學史上著名的費馬大定理或稱費馬最後 的定理。費 馬制造了 一個數學 史上最深奧的謎。 大問題 在物理學、化學或生物學中 ，還沒有任何問題可以 敘述得如 此簡單和清晰，卻長久不 解。E·T·貝爾(Er ic Temple Be ll)在他 的《大問題》(The Last Problem) 一書中寫到， 文明世界也許在費馬大定理 得以解決之前就已走到了 盡頭。證明費馬大定理成爲數論中最 值得爲之奮鬥的事。 安 德魯·懷爾斯1953年出生在英國劍橋，父親是 一位工程學教授。少年時代的懷爾 斯 已著迷 于數學了。他在 後來的回憶中寫到：“在學校裏我喜歡做題目，我把 它們帶回家， 編寫成 我自己的新題目。不過我以前找到的最好的題目是在我們社區 的圖書館裏發現的。 ”一天，小懷爾斯在彌爾頓街 上的圖書館看見了一本書，這本書只有 一個問題而沒有解 答 ,懷爾斯被吸引住 了。 這就 是E·T·貝 爾寫的《大問題》。它敘述了費 馬大定理的曆史，這個定理讓一個又 一個的數學家望而生畏， 在長達300多年的時間裏沒有人能 解決它。懷爾斯30多年後 回憶 起 被引向費馬大定理時的感覺：“它看上 去如此簡單，但曆史上 所有的大數學家都未 能解 決它。 這裏正擺著我——一個10歲的孩子—— 能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永 遠不會放棄它。我必須解決它。” 懷 爾斯1974年從牛津大學 的Merton學院獲得數學學士學位， 之後進入劍橋大學Clare 學院做博士。在研究生階段，懷爾斯並 沒有從事費馬大定理研究。他說：“研究費馬可能 帶來的問題是：你花費了多年的時間而 最終一事無成。 我的導師約翰· 科茨(John Coate s)正在研 究橢圓曲線的Iwasaw a理論，我開始跟隨他工作。” 科茨說：“我記得一位同事 告訴我，他有一個非常好的、剛完成 數學學士榮譽學位第三部考試的學生，他催促我收其 爲學生。我非常榮幸有安 德魯這樣的學生。即使從 對研究生的要求來看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他將是一個做大事情的數學家。 當然，任何研究生在那個階 段直接開始研 究費馬大定理是不可 能的，即使對 資曆很深的數學家來說，它也太困難了。”科茨的責 任 是爲懷爾斯找到某種至少能使他在今後 三年裏有興趣去研究的問 題。他說：“我認爲研究 生導師能爲學生做的一切就是設法 把他推向一個富有成果 的方向。當然，不能保證它一定 是一個富有成果的 研究方向 ，但是也許年長的數學家在這個過程中能 做的一件事是使用他 的常識、他對好領域的直覺。然後，學生能在這個方向上有多大成 績就是他自己的事了。 ” 科茨決定懷爾 斯應該研究數學中稱 爲橢圓曲線的領域。 這個決定成爲懷爾斯職業生涯中的 一個轉折點，橢圓方程的研究是他實現夢想的工具。 孤 獨的戰士< br/> 1980年懷爾斯在劍橋大學取得博士學位後來到了美國普林斯頓大學，並成爲這所大學 的教授。在科茨的指導下，懷爾斯或許比世界上其他人都更 懂得橢圓方程，他已經成爲一 個著名的數論 學家，但 他清楚地意識到，即使 以他廣博的基 礎知識和數學 修養，證明 費馬 大定理的任務也是極爲 艱巨的。 在懷爾斯的費馬大定理的證明中，核心是證明“谷山－志村猜想”，該猜想在兩個 非 常不同的數學領域間建立了一座新的橋梁。“那是198 6年夏末的一個傍晚，我正在一個朋 友家中啜 飲冰茶。談話間他隨意告訴我，肯·裏貝特已經證明 了谷山－志村猜想與費馬大 定理間的聯系。我感 到極大的 震動。我記得那 個時刻，那個改變我生命 曆程的時刻，因爲 這意味著爲了證明費 馬大定理，我必須做的一切就是 證明谷山－志村 猜想……我十分清楚 我應該回家去研究谷山－志村猜想 。”懷爾斯望見了一條實現他童年夢想的 道路。 20世紀初，有人問偉大的數學家大衛·希爾伯特爲什麽不 去嘗試證明費馬大定理，他 回答說： “在開始著手之前，我必須用3年的時間作深入的 研究，而我沒有那麽多的時 間 浪費在一件可能會失敗的事情上。 ”懷爾斯知道，爲了找到證明，他必須全身心地投入到 這個問題中，但 是與希爾伯特不一樣，他願意冒這個風險。 懷爾斯作了一個重大的決定：要完全獨立和保密地進 行研究。他說 ：“我意識到與費 馬 大定理有關的任何事情都會引起太多人的興 趣。你確實不可能很多 年都使自己精力集中 ，除非你的 專心不被他人分散，而這一 點會因旁觀者太多而做不到。”懷爾斯放棄了所有 與證明費馬大定理無直接關系的工作，任何時 候只要可能他就回到家 裏工作，在家裏的頂 樓書房裏他開始 了通過谷山－志村猜想來證明費馬大定理的戰鬥。 這是一場長達7年的持久戰 ，這期間只有他的妻子 知道他在證明費馬大定理。 歡呼與等待 經過7年的努力，懷爾斯完 成了谷山－ 志村猜想 的證明。作爲 一個結果，他也證明了 費馬大定理。現在是向世界公 布的時候了。1993年6月底 ，有一個 重要的會議 要在劍橋大 學的牛頓研究 所舉行。懷 爾斯決定利用這個機會向 一群傑出的聽衆宣布他的工 作。他選擇 在牛頓研究所 宣布的另外一個主要原因是劍橋是他的家 鄉，他曾經是那裏 的一名研究生。 1993年6月23日，牛頓 研究所舉行了20世紀最重要的一 次數學講座。兩百名數學家聆 聽了這一演講，但他們之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希臘 字母和代數式所表達 的意思。其 余的人來 這裏是爲了見證他 們所期待的一 個真正具有意義的時刻。 演講者是安 德魯·懷爾斯。懷 爾斯回憶起演講最後時刻的情景：“雖然新聞 界已經刮起有關演講的風 聲，很幸運他們沒有來聽演講。但是聽衆 中有人拍攝了演講 結束時的鏡頭，研究所所長肯 定事先就准備了一瓶香槟酒。當我宣讀證明時，會場上保持著特別莊 重的寂靜，當我寫完 費馬大定理的證明時，我說：‘我想 我就在這裏結束’，會場上爆發出一陣持久的鼓掌聲 。” 《紐約時報》在頭版以《 終于歡呼“我發現了!”，久遠的數學之謎獲解》爲 題報道 費馬大定理被證明的消息。 一夜之間，懷爾斯 成爲世界上最著名的數 學家，也 是唯一的數 學家。《 人物》雜志將懷爾斯與戴安娜王妃一起列 爲“本年度25位 最具魅力者”。最有創 意的贊美來自一家國際制衣大公 司，他們邀請這位溫文爾雅的天才作他們新系列男裝的模 特。 當懷爾斯成爲媒體報道的中心時，認真核對這個證 明的工作也在進行。 科學的程 序要 求任何數學家將完整的手稿送交 一個有聲望的刊物，然後這個刊物的編輯將它送交 一組審 稿人，審稿人 的職責是進行逐行的審查證明。 懷爾斯將手稿投到《數學發 明》，整整一個 夏天他焦急地等待審稿人的意 見，並祈求能得到他們的 祝福。可是，證明的 一個缺陷被發 現了。 我的心靈歸于平靜 由于懷爾斯的論文 涉及到大量的數學方法，編 輯巴裏·梅休爾決定不 像通常那樣指定 2－3個審稿人，而是6個審稿人 。200頁的證明被分成6章，每位審稿人負責其中一章。 懷爾斯在此期間中斷了他的工作，以處理審稿人在電子郵件中提出的問題，他自信這 些 問題不會給他造成很大的麻 煩。尼克·凱茲負責審查第3章，1993年 8月23日，他發現了 證明中 的一個小缺陷。數學的絕對主義要求 懷爾斯無可懷疑地證明 他的方法中的每一步都 行得通。懷爾斯以爲這又是一個小問題，補 救的辦法可能就在近旁，可是6個多月過去了 ，錯誤仍未改正，懷爾斯面臨絕境 ，他准備承認失敗 。他向同事彼得 ·薩克說明自己的 情 況， 薩克向他暗示困難的一 部分在于他缺少一 個能夠和他討論問題並且可信賴的人。經過 長時間的考 慮後，懷爾斯決定邀請劍橋大學的講師理查德·泰勒到普林斯頓和他一起工作 。 泰勒1994年1 月份到普林斯頓，可是 到了9月，依然沒有結果，他們准備放棄了。泰勒 鼓 勵他們再堅持一個月。懷爾斯決定在9 月底作最後一次檢查。 9月19日，一個星期一的早 晨，懷爾斯發現了問題的答案，他敘述了這一時刻： “突然間，不可思議地，我有了一個 難以置信的發現 。這是我的事業 中最重要的時刻，我不會再有這樣的經 曆……它的美是如 此地 難以形容；它又是如此簡單 和優美。20多分鍾的時間我呆望它不敢相信。然後白天我 到系裏轉了一圈，又回到桌子旁 看看它是否還在——它還在那裏。” 這是少年時代的夢 想和8年潛心努力的終極， 懷爾斯終于向世界證明了他的才能。世 界不再懷疑這一次的證明了。這兩篇論文總共有130頁，是 曆史上核查 得最徹底的數學稿 件 ，它們發表在199 5年5月的《數學年刊》上。懷爾斯再 一次出現在《紐約時報》的頭版 上，標題是《數學家稱經典 之謎已解決》。約翰·科茨說：“用數學的術語來說， 這個最 終的證明可與分裂原 子或發現DNA的結構相比，對費馬大定理的證明 是人類智力 活動的一 曲凱歌，同時， 不能忽視的 事實是它一下子就 使數學發生了革命性 的變化。對我說來，安 德魯成果的美和 魅力在于它是走向代數數論的巨大 的一步。” 聲望和榮譽紛至沓來。 1995年，懷爾斯獲得瑞典皇家學會頒發的Schock數學 獎，199 6年，他獲得沃爾夫獎，並當 選爲美國科學院外籍院 士。 懷爾斯說：“……再沒有別的問題能像費馬大 定理一樣對我有同樣 的意義。我擁有如 此少有的特權，在我的成年 時期實現我童年的夢想……那段 特殊漫長的探索已經結束了， 我的心已歸于平靜。 ” 費馬大定理只有在相對數學理論的建立之後，才會得到最 滿意的答案。相對 數學理論沒有完成之前，談這個問題是無力地.因 爲人們對數量和自身的認識，還沒有達到一定的高度. iii 費馬大定理與懷爾斯的因果 律-美國公衆廣播網對懷爾斯的專訪 358年的難解 之謎 數學 愛好者費 馬提出的這個 問題非常 簡單，它用一個每個中學生 都熟悉的數學定理——畢達哥拉斯定理來表達。2000多年前誕生的畢達哥拉斯定理說 ：在一個直角三角形中 ，斜邊的平方等于 兩個直角邊的平方之和。即X2+Y2=Z2。大 約在公元1637 年前後 ，當費馬 在研究畢 達哥拉斯方程時 ，他在《算術》這本書靠近問題8的頁邊處寫下了這段文字：“設n 是大于2的正整數，則不定方程xn+yn =zn沒有非整數解，對此， 我確信已發現一個美妙的證 法，但這裏的空白 太小，寫不下。”費馬習慣在頁邊寫下猜 想，費馬大定理是其 中困擾數學家們時間最長的，所以被 稱爲Fermat’s L ast Theorem（費馬最後的定理） ——公認 爲有史以來最著名的數學猜想。 在暢銷書作家西蒙·辛 格（Simon Sing h）的筆下，這段神秘留言引發的長達358年的 獵逐充滿 了驚險、懸疑、絕望和狂喜 。這段曆史先後涉及到最多産 的數學大師歐 拉、最偉大的數學家 高斯、由業余轉爲職業數 學家的柯西、英年早逝的天才伽羅瓦、理論兼試驗大師庫默爾和被譽爲 “法國曆史上知識最爲高深的女性”的蘇 菲·姬爾曼……法國數學天 才伽羅瓦的遺言、日本數學界的明日之星谷山豐的 神秘自殺、德國數 學愛好者保 羅·沃爾夫斯凱爾最後一刻的舍死求生等 等，都仿 佛是冥冥間上帝導演的宏 大戲劇中 的一幕，爲最後 謎底的解開埋下伏筆 。終于，普林斯頓的懷爾斯出現了。他找 到謎底，把這 出戲推向高 潮並戛然而止，留下一段 耐人回味的傳奇。 對懷爾斯而言，證明費馬大定理 不僅是破譯 一個難解之謎，更是去實現一個兒時的夢想。 “我10歲時在圖書 館找到一本數學書，告訴我有這麽一個問題，300多年前就已經有人解決了它，但卻 沒有人看到過它的 證明，也無人確信是否有這個證 明，從那以後，人們就不 斷地求證。這是一個10歲小孩就 能明白的問題，然後曆 史上諸多偉大的數學 家們卻不能解答。于是從那 時起，我就試過解決它，這個問題就 是費馬大定理。” 懷爾斯于1970年先後在牛津大學和劍橋大學獲得數學學士和數學博士學位。“我進入劍橋時，我真正把費 馬大定理擱在一邊了。這不是因爲我忘了它，而是我認識到我們所掌握的用來攻 克它的全部技術已經反複使用了1 30年。而這些技術 似乎沒有觸及問題根本。”因爲擔心耗費太多時 間而一無所獲，他“暫時放下了”對費 馬大定理的思索， 開始研究橢圓曲線理論— —這個看似與證明費馬大 定理不相關的理論後來卻成爲他實現夢 想的工具。 時間回溯至20世紀60年代，普林斯頓數學家朗蘭茲 提出了一個大膽的 猜想：所有主要數學領域 之間原本就存在著的統一的 鏈接。如果這個猜想被 證實，意味著在某個數學領 域中無法解答的任 何問題都有 可能通過這種鏈接被 轉換成另 一個領域中相應的問題——可以 被一整套新方案解 決的問題 。而如果在另一個領域內仍然難以找到答 案，那麽可以把問題再轉換到下一個數學領域中……直到它被解決爲止。根據朗蘭 茲綱領，有一天 ，數學家們將能夠解決曾經是最深奧最難對付的問題——“辦法 是領著這些 問題周遊數學王國的各個 風景勝地”。這個綱領爲飽 受哥德爾不完 備定理打 擊的費馬 大定理證明者們指明了 救贖之路——根據不完備定理，費馬大定理是不可證明的。 懷爾斯後來正是依賴于這個綱領 才得以證明費馬大 定理的：他的證明——不 同于任何 前人的嘗試——是現代數學諸多分支（橢圓曲線論，模形式理論，伽羅華表示 理論等等)綜 合發揮作用的結果。 20世紀50年代由兩位日本數學家（谷山豐和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama- Shimura conjectur e）暗示：橢圓方程與模形式兩個截然不同的數學島嶼間隱藏著一座 溝通的橋梁。隨後在1984年 ，德國數學家格哈德· 費賴（Gerhard Frey）給出了如下 猜想：假如谷山—志村猜想成立，則費馬大定理爲真。這個猜想緊接著在19 86年被肯·裏貝特（Ken Ribet）證明。 從此，費馬大定理不可擺脫 地與谷山—志村猜想鏈接在一起：如果有人能證明谷山 —志村猜想（即“每一個橢圓方程都可以模形式化”），那 麽就證明 了費馬大定理 。 “人類智力活動的一曲凱歌” 懷爾斯詭秘的行蹤讓普 林斯頓的著名數學家同事們困惑 。彼得·薩奈克（P eter Sarnak）回憶說 ：“ 我常常奇怪 懷爾斯在做些什麽？…… 他總是靜悄悄 的，也許他已經‘黔驢技窮’了。”尼克·凱茲則感歎到： “一點暗示 都沒有！”對于這次驚天“大預謀” ，肯·裏比特 （Ken Ribet)曾評價 說：“這可能是我平生來見 過的唯一例子，在如此長的時 間裏沒有泄露任何有關工作的信息。這是空前的。 1993年晚春，在經過反複的試錯和絞盡腦汁的演算，懷爾斯終于完成了谷山—志村猜想的證 明。作爲一個 結果，他也證明了費馬大定理。彼得·薩奈克是最早 得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、異 常激動、情緒失常……我 記得當晚我失 眠了”。 同年6月，懷爾斯決定在劍橋大學的大型系列講座上宣布這一證明。 “講座氣氛很熱烈，有很多數學界重要人物到場，當大家終于明白已經離 證明費馬大定理一步之遙時， 空氣中充 滿了緊張。” 肯·裏比特 回憶說。巴裏·馬佐爾（B arry Mazur） 永遠也忘不了那一刻：“我之前從未看到過如此精彩的講座，充滿了美 妙的、聞所未聞的新思想，還有戲劇性的鋪墊，充滿懸念 ，直到最後到達高潮。”當懷爾斯 在講座結尾宣布他證明了費 馬大定理時， 他成了全世界媒體的焦點。《紐約時 報》在頭版 以《終于歡呼“我發現了!”久遠的數學之謎獲解》（“At Last Sho ut of ‘Eureka!’ in Age-Old Ma th M ystery”）爲題報道費馬大定理被證 明的消息。一夜之間， 懷爾斯成爲世界上唯一的數學家。 《人物》雜志將懷爾斯與戴安娜王妃一起列爲“本年 度25位最具魅力者”。 與此同時，認真核對這 個證明的工作也在進行。遺憾的是，如同這之 前的“費馬大定理終結者”一樣，他的證明是有缺陷的。懷爾斯現在不 得不在巨 大的壓力之下修正 錯誤，其間數度感到絕望。John Conway曾在美國公 衆廣播網（PBS）的訪談中說: “當時我們其他 人（懷爾斯的同事）的行爲有 點像‘蘇聯政體研究者’，都 想知道他的 想法和修正錯誤的進展，但沒有人開口問他。所 以，某人會說，‘ 我今天早上看到懷爾斯了。’‘他露出笑容了嗎？’‘他倒是有微笑，但看起來並不高興 。’” 撐到1994年9月時，懷爾 斯准備放棄了。但他臨時邀請的研究搭檔泰勒鼓勵他再 堅持一個月。就在截 止日到來之前兩周， 9月19日 ，一個 星期一的早晨，懷爾斯發現 了問題的答案，他敘述了這一時刻：“突然間，不可思議地 ，我發現了它……它美得難 以形容，簡單而優雅。我對著它 發了20多分鍾呆。然後我 到系裏轉了一圈，又回到桌子旁看看它是否還在那裏——它 確實還在那裏。” 懷爾斯的證明爲他贏得了最慷慨 的褒揚， 其中最具代表 性的是他在劍橋時的導 師、著名數學家約翰·科茨的評價：“它 （證明）是人類智力活動的一曲凱歌”。 一場曠日持 久的獵逐就此結束， 從此費馬大定理與安德魯·懷爾斯 的名字緊緊地被綁在了一起 ，提到一個就不得不提到另外一 個。這是 費馬大定理與安德魯·懷爾斯的因果律。 曆時八年的最終證明 在懷爾斯不多的接受媒體 采訪中，美國公衆廣播網（PBS）NOVA節目對懷爾斯的專訪相當精彩有趣，本文節選部 分以飨讀者。 七年孤獨 NOVA：通常人們通過團隊來獲得工作上的 支持，那麽當你碰壁時是 怎麽解決問題的呢？ 懷爾斯：當我 被卡住時我會沿著湖邊散 散步，散步的好處 是使你會處于放松狀態，同 時你的潛意識卻在 繼續工作。通常遇到困擾時你並不需 要書桌，而且我隨時把筆紙帶上，一旦有好主意我會找個長椅坐下來打草稿…… NOVA：這七年一定交織著 自我懷疑與 成功……你不可能絕對有 把握證明。 懷爾斯：我確 實相信自己在正確的 軌道上，但那並不意味 著我一定能達到目標——也許僅僅因爲解決難題的 方法超出現有 的數學，也許我需要 的方法下個世紀也不 會出現。 所以即便我在正 確的軌道上，我卻可能 生活在錯 誤的世紀。 NOVA：最 終在1993年 ，你取得了突破 。 懷爾斯：對，那是個5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子們出去了。我坐在書桌前思考最後 的步驟，不經意間看到了一 篇論文，上面的一行字 引起了我的注意。它提到了一個19世紀的數學 結構，我 霎時意識到這就是我該用的。我不停地工作，忘記下 樓午飯，到下午三四點時我確信已經證明了費馬大定理，然後 下樓。Nada很 吃驚，以爲我這時才回家，我告訴她，我解決了費馬大定理。 最後的修正 NOVA：《紐約時報》在頭版以《終于歡呼“我發現了!”，久遠的數學之謎 獲解》，但他們並不知道這個證明中有個錯 誤。 懷爾斯：那是個存在于關鍵推導中的錯誤，但它 如此微妙以至于我忽 略了。它很抽象，我無 法用簡單的語言描述，就算是數學家也需要研習兩三個月才能 弄懂。 NOVA：後來你 邀請劍橋的數學家理查德·泰勒來協助工作 ，並在1994年修正了 這個最後的錯誤。問題是，你的證明和 費馬的證明是同一個 嗎？ 懷爾斯：不可能 。這個證明有150頁長，用的是20世紀的方法，在費馬時代還不存在。 NOVA：那就是說 費馬的最初證明還在某個未被發 現的角落？ 懷爾斯：我不相信他有證明。我覺得他說已經找到解答了是在哄自己。這個 難題對業余 愛好者如 此特別在于 它可能被 17世紀的數學證明，盡管可能性極其微小。 NOV A：所以也許還有數學家追尋這最初的證明。 你該怎麽辦呢？ 懷爾斯：對我來 說都一樣，費馬是我童年的熱望。我會再試其他問題……證明了它我有一絲傷感，它已經和我們一起這麽久了…… 人們對我說“你把我的問題奪走 了”，我能帶給他們其他的 東西嗎？我感覺到有責任。我希望通過 解決這個問題帶來的興奮可以激勵青年數學家們解決其他 許許多多的難題。 iv 谷山- 志村定理(Taniya ma-Shimura the orem )建立了橢圓曲線( 代數幾何的對象)和模形式(某種數論 中用到的周期性全純函數)之間的重要聯系。雖然名字是從谷山-志村猜想而來,定理的證明是由安德魯·懷 爾斯, Christ ophe Breuil, Brian Conrad, F red Diamond,和Richard Taylor完成. 若p是一個質數而E是一 個Q(有理數域 )上的一個橢圓曲線，我們可以簡化定義E的方程模p;除了有限個p值，我們會得到有np個元素的有限域Fp上的一個橢圓曲線。 然後考慮 如下序列 ap = np − p, 這是橢圓曲線E的重要的 不變量。從傅裏葉變換， 每個模形式也會産生一個數列。一個其序列和從模形式得到的序列相同的 橢圓曲線叫做 模的。 谷山-志村定說: &qu ot;所有Q上的橢圓曲線是模的 "。 該定 理在1955年 9月由谷山豐提出猜想。到1957年爲止，他和志村五郎一起改進了嚴格性。谷山于195 8年自殺身 亡。在1960年代，它和統一數學 中的猜想Langlands綱領聯系了 起來，並是關鍵的組成部分。猜想由André Weil于1970年代重新提起並得到推廣，Weil 的名字有一段 時間和它聯系在一起。 盡管有明顯的用處，這個問 題的深度在後來的發展之前並未被 人們所感覺到。 在1980 年代當Gerhard Freay建議谷 山-志村猜想(那 時還是猜想)蘊含著費馬最後定理的時候，它 吸引到了 不少注意力。他通過試圖表明費爾馬大定 理的任何範例會導致一個非模的橢圓曲線來做到這一點。Ken Ribet後來證明了這一結果。在1 995年，An drew Wi les和Richar d Taylor證明了谷山-志村定理的一個 特殊情況 (半穩定橢圓曲線的情況) ，這個特 殊情況足以證明費爾馬大定 理。 完整的證明最後 于1999年由Breuil, Conra d,Diamon d,和Taylor作出，他們在W iles的基 礎上，一塊一塊的逐步證明剩下的情況直到全部完成。 數論中類似于費爾馬最後定理得幾個定理可以 從谷山-志村定理得到 。例如:沒有立方可以寫成 兩個互質n次冪的和, n ≥ 3. (n = 3的情況已 爲歐拉所知) 在1996年三月 ，Wiles和 Robert Langla nds分享了沃爾 夫獎。雖然他們都沒有 完成給予他們這個 成就的定 理的完整形式 ，他們還是被認爲 對最終完成的證明有著決定 性影響。 此时，球中的陆灵蹊在小小的水镜中，清楚地看到了外面的一切，她小心 地戳了戳蓝玉板上的另一个好像半圆的符文，腰间一股柔力 袭来，把她挤到 一边，一张好像全由小 网织成的东西，从两端连结到到一起，看着……似乎是可以躺的。
