《費馬大定理》是由知名导演西蒙·辛格 执导的一部紀錄片，Andrew Wiles Barry Mazur 等倾情出演，该片讲述了： 本片從證明了費瑪最後定理的安德魯‧懷爾 斯 And rew Wile s開始談起，描述了 Fe rmat's Last Theorm 的曆史始末， 往前回溯來看，199 4年正是我在念大學的 時候，當時 完全沒有一位教授 在課堂上提到這件事，也許他們認爲，一位真 正的研究者 ，自然而然地會被數學吸引，然而 對一位不 是天才的學生 來說，他需要的是 老師的指 引，引導他走向更高深的專業認知，而指引的道路，就在科普 的精神上。 從 費瑪最後定理的曆史中可以發現，有許多研究成果， 都是研究人員燃燒熱情，試圖提出「有趣」 的命題，然後再嘗試 用邏輯驗證。 費瑪最後定理：xn+yn= zn 當 n>2 時，不存在 整數解 1. 196 3年 安德魯‧ 懷爾斯 Andrew Wiles被埃裏克‧坦 普爾‧貝爾 Eric Temple Bell 的一 本書吸引，「最後問 題 The Last Problem」，故事從這裏開始。 2. 畢達 哥拉斯 Pyt hagora s 定理，任一個直角三角形，斜邊的平方=另外兩邊的平方和 x2+y2 =z2 畢達哥拉斯 三元組：畢氏定理的 整數解 3. 費瑪 Fermat 在研究丟番圖 Diophantus 的「算數」第2 卷的問題8時，在頁 邊寫下了註記 「不可能將一個立方數寫成 兩個立方數之 和；或者將一個四次冪寫成兩個四次冪 之和；或者，總的來說，不可能將一 個高於2次 冪，寫成兩個同樣次冪的和。」 「對這個命 題我有一個十分美 妙的證明，這裏空白太小，寫不下 。」 4. 1670年，費瑪 Fermat的兒子出版了載有Fermat註記的「丟番圖的 算數」 5. 在Fermat的 其他註記中，隱含了對 n=4 的證明 => n=8, 12, 16 , 20 ... 時無解 萊昂哈德‧歐拉 Leonhard Euler 證明 了 n=3 時無解 => ; n=6, 9, 12, 15 ... 時無解 3是質數，現在只要證明費瑪最後定理對於所有的質數都成立 但 歐基裏德 證明「存在無窮多個質 數」 6. 1776年 索菲‧熱爾曼 針對 (2p+1 )的質數，證明了 費瑪最後定理 & quot;大概 " 無解 7. 1825年 古斯塔 夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-瑪利埃‧ 勒讓德 延伸熱爾曼的證明，證明了 n=5 無解 8. 1839年 加布裏爾‧ 拉梅 Gabriel Lame 證明了 n=7 無解 9. 1847年 拉梅 與 奧 古斯汀‧路易斯‧科西 Augus ti Louis Cauchy 同時宣稱已經證明了 費瑪最 後定理 最 後是劉維爾宣讀了 恩斯特‧庫默爾 Er nst Kummer 的信，說科西與拉 梅的證明，都因爲「虛數沒有唯一因子分解性質」而失敗 庫 默爾證明了 費瑪最後定理的完整證明 是當時數學方法不 可能實現的 10.1908年 保羅‧沃爾夫斯凱爾 Pa ul Wo lfskehl 補救了庫默爾的證明 這表示 費瑪最 後定理的完 整證明 尚未被解決 沃爾夫斯凱爾 提供了 10萬馬克 給提供證明的人，期限是到20 07年9月13日止 1 1.1900年8月8日 大衛‧希爾伯特，提出數學上23個 未解決的問題且相信這是迫切需要解決的重 要問題 12 .1931年 庫特‧哥德爾 不可判定性定理 第一不可判定性定理：如果公理集 合論是相容的， 那麽存在既不能證明又不能否定 的定理。 => 完全性是不 可能達到的 第二不可 判定性定理：不存在能證明公理系統是相容的構 造性過程。 => 相容性永遠不可能證明 13.1963年 保羅‧科恩 Paul Cohen 發展了 可以檢驗給定問題是不 是不可判定的方法（只 適用少數情形） 證明希爾伯特23個問題中， 其中一個「連續統假設」問題是不可判定的，這對於費 瑪最後定理來說是一大打擊 14.1940年 阿倫‧圖靈 Alan Turing 發明破譯 Enigma編 碼 的反轉機 開始有人利用暴力解決方法，要對 費瑪最後 定理 的n值一個一個加以證明。 15.1988年 內奧姆‧埃爾基斯 Naom E lkies 對 於 Eul er 提出的 x4+y4+z 4=w4 不存在解這個推想，找到了一個 反例 268244 04+15365639 4+1879604=20615 6734 1 6.1975年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 師承 約翰‧科次，研究橢 圓曲線 研究橢圓曲線的目的 是要算出他們的整數解， 這跟費瑪最後定理一樣 ex: y2=x3-2 只有一組 整數解 52=33-2 (費瑪證明宇宙中指存在 一個數26，他是夾在一個平方數與一個立方數中間) 由於要直接找出橢 圓曲線是很困難的，爲了簡化問題 ，數學家 採用「時 鐘運算」方法 在五格時鐘運算中， 4+2=1 橢圓方程 式 x3-x2=y 2+y 所有可能的解爲 (x, y)=(0, 0) (0 , 4) (1, 0) (1, 4)，然後可用 E 5=4 來代表在五格時鐘 運算中，有四個解 對於橢圓曲線，可寫出一 個 E序列 E 1=1, E2=4, ... .. 17.1954年 至村五郎 與 谷山豐 研究具有非同尋常的對稱 性的 modula r form 模 型式 模型式的要素可從1開始標號到無窮（M1, M2, M3, . ..） 每個模型式的 M序列 要素個數 可寫成 M1=1 M2=3 .... 這樣的範例 1955年9月 提出模型式的 M序列 可以對應到橢圓曲線 的 E序列，兩個不同領域的理論突然被連接在一起 安德列‧韋依 採納這個想 法，「谷山 -志村猜想」 18.朗蘭茲提出「朗蘭茲綱領」的計畫，一個統 一化猜想的理論，並開始尋找統一的 環鏈 19.198 4年 格哈德‧弗賴 Gerhard Fre y 提出 (1) 假設費瑪最後定理是錯 的，則 xn+yn= zn 有整數解，則可將方程式轉換爲 y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 這樣的橢圓方程式 (2) 弗賴橢圓 方程式太古怪了，以致於無法被模型式化 (3) 谷山-志村猜想 斷 言每一個橢圓方 程式都可以被模型式化 (4) 谷 山-志村猜想 是錯誤的 反 過來說 (1) 如果 谷山-志村猜想 是對的，每一個橢圓方程式 都可以被模型式 化 (2) 每一個橢圓方程式都 可以被模型式化，則不存在弗賴橢圓方程式 (3) 如果不存在弗賴橢圓方程式， 那麽xn+yn=z n 沒有整數解< br/> (4) 費瑪最後定理 是對的 20.1986年 肯‧貝裏特 證明 弗賴橢圓方程式無法被模型式化 如果有人能夠證明 谷山-志村猜想，就表示費瑪最後定理也是正確的 21.1986年 安德魯‧ 懷爾斯 Andrew Wiles 開始一個小陰謀，他每 隔6個月發表一篇小論文， 然後自己獨力嘗試證 明谷山-志村猜想，策略是利用歸納法， 加上 埃瓦裏斯特‧伽羅瓦 的群論，希望能將E序列以「自 然次序」一 一對應到M序列 22.1988年 宮岡洋一 發表利用微分幾何學證明谷山-志 村猜想，但結果失敗 23.1989年 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 已經將橢圓方程式拆解成無限多項，然後也證明了第 一項必定是模型式的第 一項，也嘗試利用 依娃 沙娃 Iwasawa 理論，但結果失敗 24.1992年 修改 科利瓦金-弗萊契 方法，對所 有分類後的橢圓方 程式都奏效 25.1993年 尋求同事 尼克‧凱茲 Nick Katz 的協助，開始對驗證 證明 26.1993 年5月 「L-函數 和算術」會議，安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 發 表谷山-志 村猜想的證明 27.1993年9月 尼克‧凱茲 Nick Katz 發現一個重 大缺陷 安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 又開始隱居，嘗試 獨力解決 缺陷，他不希望在這 時候公布證明，讓其他人分享完成證明 的甜美果實 28 .安德魯‧懷爾斯 Andrew Wiles 在 接近放棄的邊緣，在彼得‧薩納克的 建議下，找到理查德‧泰勒的協助 29.1994年9月19 日 發現結合 依娃沙娃 Iwas awa 理論與 科 利瓦金-弗萊契 方法就能夠完全 解決問題 3 0.「谷山-志村 猜想」被證明了，故得證「費瑪最後定 理」 ii 費馬大定 理 30 0多年以前，法國數 學家費馬在一本書的空白處寫下了一個定理：“設n是大于2的正整數 ，則不定方程xn+yn=zn 沒有非零整數解”。 費馬宣稱他發現了這個定理的一個真 正奇妙的證明，但因書上 空白太小 ，他寫不下他的證明。300多年過去 了，不知有 多少專業數學 家和業余數學愛 好者絞盡腦 汁企圖證明它， 但不是無功而返就是進展甚微。這就是純數學中最著 名的定理—費馬大定理。 費 馬(1601年～1665年) 是一位具有傳奇色彩的數學家 ，他最初學習法律並以當律師謀生，後來成爲議會議員，數學只不過是他的業 余愛好，只能 利用閑暇來研究。 雖然年近30才認真注意數學，但費馬對數 論和微積分做出了第一流的貢獻。他與笛卡 兒幾乎同時創立了解析幾何，同 時又是17世紀興起的概率論的探索 者之一。費馬特別愛好數論，提出了許多定理， 但費馬只對其中一個定理給出了證明要點，其他定 理除一個被證明是錯的 ，一個未被證明 外，其余的陸續被後來的數學家所證實。 這唯一未被證明的定理就是上面所說的費馬大定理，因爲是最後一個未被證 明對或錯的定理 ，所以又稱爲費馬最後定理。 費 馬大定理雖然至今仍沒有完全被證明，但已經有了很大進展，特別是最 近幾十年，進 展更快。1976年瓦格斯塔夫證明 了對小于105的素數費馬大 定理都成立。1 983年一位年輕的德國數學家法爾廷斯證明了不定 方程xn+yn=zn只能有有限多組解，他的突出貢 獻使他在1986年獲得了 數學界的最高獎之一費爾茲獎。1993年英國 數學家威爾斯宣布證明了費馬大 定理，但隨後發 現了證明 中的一個漏洞並作了修正。 雖然威爾斯證明 費馬大定理還沒有得到數學界的一致公認，但 大多數數學家認爲 他證明的思路是正確的。毫無疑問， 這使人們看到 了希望。 爲了尋求費馬大定理的解答 ，三個多 世紀以來，一代又一代的數學家們前赴後繼，卻壯 志未酬。 1995年，美國 普林斯頓大學的 安德魯·懷爾斯教 授經過8年的孤 軍奮戰，用 13 0頁長的 篇幅證明了費馬大定 理。懷爾斯成爲整個數學界的英雄。 費馬大定理提 出的問題非常簡單，它是用一個每個中學生都熟悉的 數學定理——畢達 哥拉斯定理——來表達的 。2000多年前誕生的畢達哥拉斯定理說：在一個直角三角形中， 斜邊 的平方等 于兩直角邊的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大約在公 元1637年前後 ，當費 馬在 研究畢達哥 拉斯方程時，他寫下一個方程，非常類似于畢 達哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,當n 大于2時，這個方 程沒有任何整數解。費馬在《算術》這本書的 靠近問題8的頁 邊處記下這 個結論的 同時又寫下一個 附加的評注：“對此，我確信已發現 一個美妙 的證法，這裏的空 白太小，寫不下。”這就是數學史上 著名的費馬大定理或稱費馬最後 的定理。費馬制造了 一個數學史上最深 奧的謎。 大問題 在物理學、化學或生物學中，還沒有任何問題可以敘述得如此簡 單和清晰，卻長久不 解。E·T·貝爾(Eric Temple Bell)在他的《大問題》(The Last Problem)一書中寫到， 文 明世界也許在費馬大定理得以解決之前就已走到了盡頭。 證明費馬大定理成爲數論中 最 值得爲之奮鬥的事 。 安德魯 ·懷爾斯1953年出生在英國劍橋，父親是一位工程學教授。少年時代 的懷爾斯 已著迷于數學了。他在後來的回憶 中寫到：“在學校裏我喜歡 做題目，我把它們帶回家 ， 編寫成我自己的新題目。不過我以前找到的最好的題目是在我們社區的圖書館裏發現的。 ”一天，小懷爾斯在彌爾頓街上的圖書館看見了一本書，這本書只有一個問題而沒有解答 ,懷爾斯被吸引住了。 這就是E·T·貝爾 寫的《大問題》。它敘述了費馬大定理的曆史，這個定理讓一個又 一個的數學家望 而生畏，在長達3 00多年的時間裏沒 有人能解決 它。懷爾斯30多年後回憶 起被引向費馬大定理時的感覺：“它看上去如 此簡單，但曆史上 所有的大數學家 都未能解 決 它。這裏正擺著我——一個10歲的孩子——能理解的問題，從那個時刻起，我 知道我永 遠不會放棄它。我必須解決它。” 懷爾斯1974年從 牛津大學的Merton 學院獲得數學學士學位， 之後進入 劍橋大學Cla re 學院做博士。在研究生 階段，懷爾斯並沒有從事費馬大定理研究。他說 ：“研究費馬可能 帶來的問題是：你花費了多 年的時間而最終一事無成。我的導師約翰·科茨(John Coate s)正在研究橢圓曲線的Iwasawa理論，我開 始跟隨他工作。” 科茨說：“我記得一位同事 告訴我，他有一個非常好的、剛完成數學學 士榮譽學位第三部考試的學生，他 催促我收其 爲學生。我非常榮幸有安德魯這樣的學生。即使從對研究生的要求來看，他也有很深刻的 思想，非常清楚他將是一個做大事情的數學家。當然，任何研究生在那個階段直接開始研 究費馬大定理 是不可能的，即使對資曆很深的數學家來說，它也太困難了。” 科茨的責 任 是爲懷爾斯找到某種至少能使他在今後三年裏有興趣 去研究的問題。他說：“我認爲研究 生導 師能爲學生做的一切就是設 法把他推向一個富有成果的方向。當然，不能保證它一 定 是一 個富有成果的研 究方向，但是也許年長的 數學家在這個過程中能做的一件事是使用 他 的常識、他對好領域的直覺。然後，學生能在這個 方向上有多大成績就是他自己的事了。 ” 科茨決定懷爾斯應該研究數學中稱爲橢圓曲 線的領域。這個決定成爲懷爾斯職業生涯中 的 一個轉折點，橢圓方程的研究是他 實現夢想的工具。 孤 獨的戰士 1980年懷爾斯在 劍橋大學取得博士學位後來到了美國普林斯頓大學 ，並成爲這所大學 的教授。在 科茨的指導下，懷爾斯或許比世界上其他人都更懂得橢圓方程，他已 經成爲一 個著名的數論 學家，但他清楚地意識到，即使以他廣博 的基礎知識和數學修 養，證明費馬< br/> 大定理 的任務也 是極爲艱巨的。 在懷爾斯的費馬大定理的證明中，核心是證明“谷山－志村猜想”， 該猜想在兩個非 常不同的數學領域 間建立了一座新的橋梁。“那是1986年夏末的一個傍晚 ，我正在一個朋 友家中啜飲 冰茶。談 話間他隨意告訴我，肯·裏貝特已經證明了谷山 －志村猜 想與費馬 大 定理間的聯系。我感到極大的 震動。我記得那個時刻，那個改變我生命曆程的時刻，因爲 這意味著爲了證明費馬大定理，我必須做的一切就是證明谷山－志村猜想……我十分清楚 我應該回家去研究 谷山－志村猜想。”懷爾斯望見了一條實現他童年夢想的道路 。 20世 紀初，有人問偉大的數學家大衛·希爾伯特爲什麽不去嘗試證明費馬大定理，他 回答說：“在 開始著手之前，我必須 用3年的時間作深入的研究，而我沒有那麽多的時間 浪費在一 件可能會失敗的事情 上。”懷爾斯知道，爲了找到證明 ，他必須全身心地投入 到 這個問題中，但是與希爾伯特不一樣， 他願意冒這個風險。 懷爾 斯作了一個重大的決定：要完全獨立和保密地進行研究。他說：“我意識 到與費 馬大定理有關的任何事情都會引起太多人的興趣。你 確實不可能很多 年都使自己精力集中 ，除非你的 專心不被他人分散， 而這一點會因旁觀者太多而做不到。”懷爾斯放棄了所有 與證明費馬 大定理無直接關系的工作， 任何時候只要可能他就回到家裏工作，在家裏的頂 樓書房裏他開始 了通過谷山－志村猜想來證明費馬大定 理的戰鬥。 這是一場長達7年的 持久戰，這期間只有他的妻子知 道他在證明費馬大定 理。 歡呼與等 待 經過7年的努力，懷爾斯完成了谷山－志村猜想的證明 。作爲一個結果，他也證明了 費馬大定理。現 在是向世界公布的 時候了。1993年 6月底，有一個重要的會議要在劍橋大 學的牛頓研究所 舉行。懷 爾斯決定利用 這個機會向一群傑出的聽 衆宣布他的工作。他選擇 在牛頓研究 所宣布的另外一個 主要原因是劍 橋是他的家 鄉，他曾經是那裏的一 名研究生。 1993年6月23日， 牛頓研究所 舉行了20世紀最重 要的一次數學講座。兩百名數學家聆< br/> 聽了這一演講，但他們之中只有四分之一 的人完全懂得黑板上的希臘字母和代數式所 表達 的意思 。其余的人來這裏是爲了見證他們所期待的一個真正 具有意義的 時刻。演講者是安 德魯·懷爾斯。懷 爾斯回憶起演講最後時刻的情景：“雖然新聞界已經刮起有關演講的風 聲，很幸運他們沒有來聽演講。但是聽衆中有人拍攝了演講結束時的鏡頭，研究 所所長肯 定事先就准 備了一瓶香槟酒。 當我宣讀證明時，會場上保持著特別莊重的寂靜，當我寫完< br/> 費馬大定理的證明時，我 說：‘我想我就在這裏結束 ’，會場 上爆發出一陣持久的 鼓掌聲< br/> 。” 《紐約時報》在頭版以《終于歡呼“我發現了!” ，久遠的數學之謎獲解》爲題報道 費馬大定理被證 明的消息。一夜之間，懷爾斯成爲世界上最著名的數學家，也 是唯一的數 學家。《人物》雜志將懷爾斯 與戴安娜 王妃一起 列爲“本年度25位最具魅力者”。最有創 意的贊美來 自一家國際制衣大公司，他 們邀請這位溫 文爾雅的天才作他們新 系列男裝的模 特。 當懷爾斯成爲媒體報道 的中心時，認真核對這 個證明的工作也在 進行。科學的程序要 求任何數學家將完整的手稿送交一個有聲望的 刊物，然後這個刊物的編輯將它送交一組審 稿人，審稿人的職責是進行逐行的審查證明。懷爾斯將手稿投到《數學 發明》，整整一個 夏天他焦急 地等待審稿人的 意見，並祈求能得到他們的祝福。可是， 證明的一個缺陷被發 現了。 我的心靈歸于平 靜 由于懷爾斯 的論文涉 及到大量的數學方法，編輯巴裏·梅休爾決定不像 通常那樣指定 2－3個審稿人，而是6個審稿人。200頁的證明被分 成6章，每位審稿人負責其中一章。 懷爾斯在此期間中斷了他的工作，以處理審稿人在電 子郵件中提出的問題，他自信這 些問題不 會給他造成很大的麻煩。尼克·凱茲負責審查第3章，1 993年8月23日 ，他發現了 證明中的 一個小缺陷。數學的 絕對主義 要求懷爾斯無可懷疑地證明他的方法中的每 一步都 行得 通。懷爾斯以爲這又是一個小問題，補救的辦法可能就在近旁，可是6個多月 過去了 ，錯誤仍未改正，懷爾斯面臨絕境， 他准備承認失敗。他向同事彼得·薩克說明自己的情 況，薩克向他暗示困難的一部 分在于他缺少一個 能夠和他討論問題並且可信 賴的人。經過 長時間的 考慮後，懷爾斯決定邀 請劍橋大學的講師理查德·泰勒到普林斯頓和他一起工作 。 泰勒1994年1月份到普林斯頓，可是到了9月， 依然沒有結果，他們准備放棄了 。泰勒 鼓勵他們再堅持一個月。懷爾 斯決定在9月底作最後一次檢查。9月19日，一個 星期一的早 晨，懷爾斯發現了問題的答案 ，他敘述了這一時刻：“突然間，不可思 議地，我有了一 個 難 以置信的發現。這 是我的事業中最重要的時刻 ，我不會再有這樣的經曆……它的美是如 此地難以形容；它又是如此簡 單和優美。20多分鍾的時間我呆望它不敢相 信。然後白天 我 到系裏轉了一圈，又回到桌 子旁看看它是否還在——它還在那裏 。” 這是少年時代 的夢想和8年潛心努力的終極，懷爾斯終于向世界證明了他的才能。世 界不再懷 疑這一次的 證明了。這兩篇論文總共有130頁，是曆史上核 查得最徹底 的數學稿 件，它們發表在1995年5月的《數學年 刊》上。懷爾斯再一次出現在《 紐約時報》的頭版 上，標題 是《數學家稱經典之謎已解決》。約翰·科茨說：“用數 學的術語來說，這個最 終的證明可與分裂原子或發現D NA的結構相比，對費馬大 定理的證明是人類智力活動的一 曲凱歌，同時，不能忽視的事實是它 一下子就使數學發生了革命 性的變化。對我說來，安 德魯成果的美和 魅力在于它是走向代數數論的巨大 的一步。” 聲望和榮譽紛至沓來。1995年，懷爾斯獲得瑞 典皇家學會頒發的Schock數學獎，1 99 6年，他獲得沃 爾夫獎，並當選爲美國科學院外籍院士。 懷爾斯說： “……再沒有別的問題 能像費馬大定理一 樣對我有同樣的意義。我擁有如 此少有的特權，在我的成年時期實現我童年的夢想……那段特殊漫 長的探索已經結束 了， 我的 心已歸于平靜。” 費馬大定理只有在相對數 學理論的建立之後，才會 得到最滿意的答案。相對數學理論沒 有完成之前，談這個問題是無力地.因爲人們對數量和自身的認識，還沒有達到一定的高度. iii 費馬大定理與懷爾斯的 因果律-美國公衆廣播網對懷爾斯的 專訪 358年的難 解之謎< br/> 數學愛 好者費馬提出的這 個問題非常簡單，它用一個每個中學生都 熟悉的數學定理——畢達哥拉斯定理來表達。2000多年前誕生的畢 達哥拉斯定理說：在一個 直角三角形 中，斜邊的平方等于兩個直 角邊的平方之和。即X2+Y2=Z 2。大約 在公元1 637年前後 ，當費馬在研究畢達哥拉斯方程時，他在《算術》這本書靠近問題8的頁邊處寫下了這段文字：“設n是大于2的正整數，則不定方程xn+yn=zn沒有非整 數解，對此，我確信已發 現一個美妙的證法，但這裏的空白太小，寫不下。”費馬習慣在 頁邊寫下猜想 ，費馬大定理是其中困擾數學家們時間最長的，所以被稱爲F ermat’s Last Theorem（費馬最後 的定理）——公認爲有史以來最著名 的數學猜想。 在暢銷書作 家西蒙·辛格（Simon S ingh）的筆下，這段神秘留言引發的長達358年 的獵逐充滿了驚險、懸疑、絕望和狂喜。這段曆史先後涉及到最多産的數學大師歐拉、最偉大的數 學家高斯、由業余轉爲職業 數學家的柯西、英年早逝的天才伽羅瓦、理論兼試驗大 師庫默爾 和被譽爲“法國曆史上知識最爲高深的女性” 的蘇菲·姬爾曼 ……法國數學天才伽羅 瓦的遺言、日本數學 界的明日之 星谷山豐的神秘自殺、德國數學愛好者保羅·沃爾 夫斯凱爾最後一刻的舍死求生等等，都 仿佛是冥冥間上帝導演的宏大戲劇中的一幕，爲最後謎 底的解開埋下伏筆。終于，普林斯頓的 懷爾斯出現了。他找到謎底，把這出戲推 向高潮並戛然而止，留 下一段耐 人回味的傳奇。 對懷爾斯而言，證 明費馬大 定理不僅是破譯一個難解之謎，更 是去實現一個兒時的夢想。“我 10歲時在圖書館找到 一本數學書，告訴我有這麽一個問題，300多年前就已經有人解決了它，但卻沒有人看到過它的證明 ，也無人確信是否有這個證明，從那以 後，人們就不斷 地求證。這是一個10歲小孩就 能明白的問題，然後 曆史上諸多偉 大的數學家 們卻不能解答。于是從那時起，我就試過 解決它，這個問題就是費馬大定理。” 懷爾斯于1970年先 後在牛津 大學和劍橋大學獲得數學學士和數學博士學位。“我進入劍 橋時，我真正把費馬大定理擱在一邊了。這不是因爲我忘了它，而是我認識到我們所掌握的 用來攻克它的全部技術已經反複使用 了130年。而這些技術似乎沒有觸及問題 根本。”因爲擔心耗費太多時間而一無所獲，他“暫時放下 了”對費馬大定理的 思索，開始研究橢圓曲線 理論—— 這個看似與證明費馬大定理不相關的理 論後來卻成爲他實現夢想的工具。 時間回溯至20世紀60年代，普林斯頓數學家朗蘭茲提出了一個大膽的 猜想：所有主要數學領域之間原本就存在著的統一的鏈接。如果這個猜想被證實，意味著在某個數學領域 中無法解答的任何問題都 有可能通過這種鏈接 被轉換成另一 個領域中相應的問題——可以被一整 套新方案解決的問題。而如果在另 一個領域內仍然難以找到答案，那麽可以 把問題再轉 換到下一個數學領 域中……直到 它被解決爲止。根據朗蘭茲綱 領，有一天，數學家們將能夠解決曾 經是最深奧最難對付的問題——“辦法是領 著這些問題周遊數學王國的各個風景勝地”。這個綱領爲飽受哥德爾不完備定理打擊的費馬 大定理證明者們指明了救贖 之路——根據不完備定理，費馬大定理是不可證 明的。 懷 爾斯後來正是依賴于這個綱領 才得以證明費馬大定理的：他的證明——不同于任何 前人的嘗試——是現代數學諸多分支（橢圓曲線論 ，模形式理論，伽羅華表示理論等等)綜合發揮作 用的結果。20世 紀50年代由兩位日本數學家（ 谷山豐和志 村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shi mura conject ure）暗示：橢圓方程與模形式兩個截然不 同的數學島嶼間隱藏著一座溝通的橋梁。隨後在1984 年，德國數 學家格哈德·費賴（Gerhard Frey）給出了如下猜想：假如谷 山—志村猜想成立，則費 馬大定理爲真。這個猜 想緊接著在1986年被 肯·裏貝特（Ken Ribet）證明。 從此，費馬大定理不可擺脫地 與谷山—志村猜想鏈接在一起：如果有人 能證明谷山—志村猜想（即 “每一個橢圓方程都可以模形式化”），那麽就證明了費馬大定理 。 “人類智力活動的一曲凱歌” 懷爾斯 詭秘的行蹤讓普 林斯頓的著名數學家同 事們困惑。彼得·薩奈 克（Peter Sarnak）回憶說：“ 我常常奇怪懷爾斯在做些什麽？……他總是靜 悄悄的，也許他已經‘黔驢技窮’了。” 尼克·凱茲則感歎到：“一點暗示都沒有！”對于這次驚天“大預 謀”，肯·裏比特 （Ken Ribet)曾評價說：“這可能是我 平生來見過的唯一例子，在如此長的時間裏 沒有泄露任何有 關工作的信息。這是空前的。< br/> 1993 年晚春，在經過反 複的試錯和 絞盡腦汁的演算，懷爾斯終于完成了谷山—志村猜 想的證明。作爲一個結 果，他也證明了費馬大定 理。彼得·薩奈克是最早得 知此消息的人之一， “我目瞪口呆、異常激動、情緒失常 ……我記得當晚我失眠了”。 同年6月，懷爾斯決定在劍橋大學的大 型系列講座上宣布這一證明。 “講座氣氛很熱烈，有很多數學界重要 人物到場，當大家終于明白已經離證明費馬大定理一步之遙時，空氣中充滿了 緊張。” 肯·裏比特回 憶說。巴裏·馬佐爾（B arry Maz ur）永遠也忘不了那一刻：“我之前從未看到 過如此精彩的講座，充滿了美妙的、聞所未聞的新思 想，還有戲劇性的鋪墊 ，充滿懸 念，直到最後到達 高潮。”當懷爾斯在講 座結尾宣布他證明了費馬大定理時，他成了全世界 媒體的焦點。《紐約時報 》在頭版以《終于歡呼“我發現了!”久遠的數學 之謎獲解》 （“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old M ath Mys tery”）爲題報道費馬大定理被證明的消息 。一夜之間，懷 爾斯成爲世界上唯一的數學 家。《人物》雜 志將懷爾斯 與戴安娜王妃一起列爲“本年度25位最具魅力者”。 與此同時，認真核對 這個證明的工作也在進行。遺憾的是，如同這之前的“ 費馬大定理終 結者”一樣，他的證 明是有缺陷的。懷爾斯現 在不得不在巨大的壓力之下修正錯誤 ，其間數度感到絕望。John Conway曾 在美國公衆廣播網（PBS）的訪 談中說: “當時 我們其他人（懷爾斯的同事）的行爲有點像‘蘇聯政體研究者’，都 想知道他的想法 和修正錯誤的進展，但沒有人開口問他。所以，某人會說，‘我今天早上 看到懷爾斯了。’‘他露出 笑容了嗎？’‘他 倒是有微笑，但看起來 並不高興。’” 撐到1994年9月時，懷爾斯准備放棄了。但他臨時邀請的 研究搭檔泰勒鼓勵他再堅持 一個月。就在截止 日到來之前兩周， 9月19日 ，一個星期一的早晨，懷爾斯發 現了問題的答案，他敘述 了這一時刻：“突然間，不可思議地，我發現了它……它美得難以形容，簡單 而優雅。我對著它發了20多分鍾呆。然後我到系裏轉 了一圈，又回到 桌子旁看 看它是否還在那裏——它確實還在那裏。” 懷爾斯的證明爲他贏得了最慷慨的 褒揚，其中最具代表性的是 他在劍橋時的導師、 著名數學家約翰·科茨的評 價：“它（證明）是人類智力活動的一曲凱歌”。< br/> 一場曠日持久的獵 逐就此結束，從此費馬大定理與安德魯·懷爾斯的名字 緊緊地被綁在了一起，提到一個就不得不提到另 外一個。這是費馬大定理與安德 魯·懷爾 斯的因果律 。 曆時八 年的最終證明 在懷爾斯不多的 接受媒體采訪中，美國公衆廣播網（PBS）NOVA 節目對懷 爾斯的專訪相當精彩有趣，本文節選部分以 飨讀者。 七年孤獨 NOVA：通常人 們通過團隊來獲得工作上的支持，那麽 當你碰壁 時是怎麽解決問題的呢？ 懷爾斯：當我被卡住時我會沿著湖邊散 散步，散步的好處是使你會處于放松狀態，同時你的潛意識卻在繼續工 作。通常遇到困擾時 你並不需要書 桌，而且我隨時把筆紙帶上，一旦有好主意我會找個長椅坐下 來打草稿…… NOVA：這 七年一定交織著自我懷疑與成功……你不可能絕對有把 握證明。 懷爾斯：我確 實相信自己在正確的軌道上，但那並不意味 著我一定能達到目標— —也許僅僅因爲解 決難題的方法超出 現有的數學， 也許我需要的方法下個世紀也不會出 現。所以即便我在正 確的軌道上，我卻可能生活 在錯誤的世紀。 NOVA：最 終在1993年，你取得了突破。 懷爾 斯：對，那是個5月末的早上。Nada，我的太太，和孩子們 出去了。我坐在書桌前思考最後的步驟，不 經意間看到了一篇論文，上面的一行 字引起了我的注意。它提到了一 個19世紀的數學結構，我霎時意識到這就是我該用的。我不停地工作，忘記下樓午飯， 到下午三四點時我確信已經 證明了費馬大定理， 然後下樓。Nada很吃驚，以爲我這時才回家，我告訴她，我解決了費馬 大定理。 最後的修正 NOVA：《紐 約時報》在頭版以《終于歡呼“我發 現了!”，久遠的數學之謎獲解》，但他們並不知道這個證明中有個錯誤。 懷爾斯：那是個存在于關鍵推導中的 錯誤，但它如此微妙以至于我忽略了。它很抽象，我無法用簡單 的語言描述，就算是數學家也 需要研習 兩三個月才能弄懂。 NOVA：後來你邀請劍橋 的數學家理查德·泰勒來協助工作，並在1994年修正了這個最 後的錯誤。問題是， 你的證明和費馬的證明是同一個嗎？ 懷爾斯：不可能。這個 證明有150頁長， 用的是20世紀的方 法，在費馬時代還不 存在。 NOVA：那就是說費馬的最初證明還在某個未被發現的角落？ 懷爾斯：我不相信他有證明 。我覺得他說已經找到 解答了是在哄自己。這個難題對業余愛好者如 此特別在于 它可能被17世紀的數學證明，盡管可能性極其微小。 NOV A：所以也 許還有數學家追尋這最初的證明。你該怎麽辦呢？ 懷爾斯： 對我來說都一樣，費 馬是我童年的熱望。我會再試其他問題……證明了它我有一絲傷感，它已經和我 們一起這麽久了……人們對 我說“你把我的問題 奪走了”，我能帶給他們其他的東西嗎？我感覺 到有責任。我希望通過解 決這個問題帶來的 興奮可以激勵青年數 學家們解決其他許許多多的難題。 iv 谷山-志村定理(T aniyama-Shimura t heorem)建立了橢圓曲線(代數幾何的對象)和模形式 (某種數論中用到的周 期性全純函數)之間的重要聯系。雖然名字是從谷山-志村猜想而來,定 理的證明 是由安德魯·懷爾斯, Christoph e Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylo r完成. 若 p是一個質數而 E是一個Q(有理數域 )上的一個橢圓曲線，我們可以 簡化定義E的方程模p;除了有限個p值，我們 會得到有np個元素的 有限域Fp上的一個橢圓曲線。然後考慮如下序列 ap = np − p, 這是橢 圓曲線E 的重要的不變量。從傅 裏葉變換，每個模形式也會産生一個數列。一個其 序列和從模形式得到的序列相同的橢圓曲線叫做模的。 谷山-志村定說: "所有Q上的 橢圓曲線是模的" ;。 該定理 在1955年9月由谷山豐提出猜想。到195 7年爲止 ，他和志村五郎一起改進了 嚴格性。谷山于1958年自殺身亡。 在1960年代，它 和統一數學中 的猜想Langl ands綱領聯系了起來， 並是關鍵的組成部分。猜想由André Weil于197 0年代重新提起並得到推廣 ，Weil的名字有一段時 間和它聯系在一起。盡管有明顯的用處，這個 問題的深度在後來的發展之前並未被人 們所感覺到。 在 1980年代當G erhard Freay 建議谷山- 志村猜想(那時還是猜想 )蘊含著 費馬最後定理的 時候，它吸引到了 不少注意力。他通過試圖表明費爾馬大定理 的任何範例會導致一 個非模的橢圓曲線來做到這一點。Ken Ri bet後來證明了這一結果。在1995年， Andrew Wiles和Ri chard Ta ylor證明了谷山-志村定理的一 個特殊情況(半穩 定橢圓曲線的情況) ，這個特殊情況足以證明費爾馬大定理。 完整的證明最後于1999年由Breu il,Conrad,D iamond ,和Taylor作出， 他們在Wiles的基礎 上，一塊一塊的逐步證明剩 下的情況直到全部完成 。 數論中類似于 費爾馬最後定理得幾個定理可以從谷山-志村定理得到。例如:沒有立 方可以寫成 兩個互質 n次冪的和, n ≥ 3. (n = 3的情況已爲 歐拉所知) 在1996 年三月，Wiles和Robe rt L anglands分享了沃爾夫獎。雖然他們都沒有完成給予他們這個成就的定理的完整形式，他們還是被認爲對最終完成的證明有著決定性影響。 陆灵蹊搂住小家伙时，心里软软的，“我们也好想你，放心，爷爷会上来的，青主儿和葵葵也会上来 的，以后还会有敖象、小贝 他们，对了，他们 也有礼物给你噢，神神秘秘地封着，也没让我 看，回头你瞅瞅，要 是宝石什么的，也分我两块玩。”
